欧式几何方法(平行线也可相交原理)

1. 欧式几何方法，平行线也可相交原理？

平行线可以相交”这件事在我们现在看来，很多人都无法理解，这是因为我们知识的局限性造成的。

我们初中所学习到的平面几何学以欧几里得几何学为框架，其中对平行线的定义就是在二维平面内两条不相交的直线。

而关于直线的定义是，在二维平面上的两个点之间有且只有一条直线，也就是我们常说的两点确定一条直线。

这么看来在欧式几何学中，平行线可以无限延长，且永远不会相交。这种说法很符合人类的直觉常识，也很容易被人们接受，且深信不疑。

不仅是我们，几千年来大部分的数学家也是这样认为的。因此欧式几何学也顺势统治了人类数学史数千年的时间。

那么平行线为何又可以相交呢？这是怎么回事？这个问题涉及到了几何学的一个重大发现和突破，也不得不提一位俄罗斯数学界的牛人：罗巴切夫斯基。

1826年2月23日，34岁的罗巴切夫斯基在自己任教的喀山大学举办的一次学术讨论会上宣读了自己的一篇论文。

参加此次学术会议的都是当时数学家的大咖，其中不乏一些已经在学术界很有成就，资历比较老的前辈。

在他们眼里罗巴切夫斯基是一位在学术上非常严谨、诚实、富有才华的青年数学家，未来可期。他们也很期待罗巴切夫斯基的学术报告。

负曲率二维表面三角形内角和小于180°，且可以作已知直线的无数条平行线

在做了简短的开场白以后，接下来罗巴切夫斯基所说的话，令当时在场的所有数学家惊愕不已，罗巴切夫斯基所做的报告不仅完全超出了当时数学界的认知，且每一句话都在挑战着人们的常识。

例如罗巴切夫斯基提出：在一个二维的面上三角形的内角之和可以小于180°，当然也可以大于180°；由两条直线组成的锐角，向一边作垂线，这个垂线可以和另外一条边不相交；

正曲率表面，三角形内角和大于180°，无法作平行线

在一个二维面内，过直线外的一点，可以做多条直线与已知直线平行；当然也存在无法做平行线的情况，也就是说在一个二维面上，没有真正的平行线，任何两条直线都有一个共同的交点（平行线相交）。

看了以上的说法是不是很懵，不要慌张，当时在座的所有数学家都被惊掉了下巴，无人能理解罗巴切夫斯基在说什么。

但罗巴切夫斯基说这些看起来奇怪的说法是新的几何学，虽然和欧式几何相互冲突，但是它和欧式几何有着同等重要的地位，并请求同行对他的报告提出评议。

但此时的会场一片寂静，所有的人都流露出了怀疑、否定的态度，不敢相信这么胡扯的话能出在一位治学严谨的数学家之口。

那么罗巴切夫斯基到底说的是什么？它又发现了什么？

上文中我们不断的提到欧式几何，它是公元3世纪由古希腊学者欧几里得编写的一部数学界的旷世巨著《几何原本》。

欧几里得的几何学中，一开始写了5条公设（公理），并在此基础上进行逻辑推理导出了48个命题。公设的意思是那些不用去证明的真理。

这五条公理我们非常熟悉，这是学习几何时必须掌握的知识，其中前四条公理人们看着十分满意，但是唯独第五条（论平行线的）人们怎么看怎么不舒服。

并不是觉得它不对，就是感觉这个语句如此之长一点也不简洁，看起来更像是一条可以被证明的定理，而不是公理。

并且后来的学家也认为，是当时欧几里得无法给出这条定理的证明，投机取巧才把它写进了公理。如此想法一出，数学界就开始了长达数千年利用前四条公理去证明第5公理的道路。

在一个球面，两点之间可以作无数条直线。

但是直到19世纪初，所有的数学家都逃不过循环论证的噩梦，证明第5条公理就成为了数学家的一大历史遗留问题。

身为数学家的罗巴切夫斯基当然也加入了其中，不过他一样也发现第五条公理怎样都无法证明。但是理论的进步往往都自于一瞬间的灵光乍现。

既然无法证明，那是不是就说明证明的第五条公理的过程根本就不存在，我们去找一件本身不存的事情当然是徒劳。人类花了几千年，就算是再过上万年也会无果。

为了证明第五公理不可证明，罗巴切夫斯基首先否定了第五公理，把他更改为一条新的公理，即：过直线外的一点可以做已知直线，至少两条平行线。

将这个新的公理和前四条公理结合在一起，罗巴切夫斯基从头开始了新的逻辑推理，并发现得出来的结论虽然古怪，但是在理论上并不矛盾，而且与前四条公理完美的相容。

这只能说明，新结论和欧式几何同样具有同等的地位，且是一个完整、逻辑严密的新几何。新几何的存在也说明了第五公理并不是公理，也不是定理，它只能是一个对平行线的定义，不同的定义可以导出不同的结论，因此也无法证明。

这个新的几何学就是我们大学时学到的非欧几何，适用于弯曲的时空。罗巴切夫斯基根据他对平面内平行线的定义所得出来的几何学也被称为罗氏几何。

主要描述的是负曲率空间的几何学，虽然这是一个伟大的发现，但是由于当时人们根本找不到现实世界的类比物来理解罗氏几何。

因此罗巴切夫斯基的新发现得到的是一片冷嘲热讽，甚至是人身攻击，甚至是被当时的俄国教育部开除了公职，迫使他离开了最喜爱的大学校园。

长年的苦闷和压抑使得罗巴切夫斯基在晚年百病缠身，甚至失明。1856年罗巴切夫斯基带着遗憾和无奈走完了自己的一生。这时他的新几何学依然没有被人们认可，在追悼会上人们对他在非欧几何上的贡献也是只字不提，刻意回避。

1854年黎曼更改了第五条公理，即：在一个二维平面内，不存在平行线的存在，得出了黎曼几何。黎曼几何描述的是正曲率空间的几何学，也被称为椭球几何学。

1864闵可夫斯基提出了不同以往的绝对平坦时空，称为闵式四维时空，1868年数学家贝特拉米证明的非欧几何可以在闵式四维时空的曲面上实现。

到了二十世纪初，爱因斯坦在闵式四维时空以及非欧几何的基础上提出了相对论，为人们重新塑造了整个宇宙的时空结构。

平坦的时空只不过是宇宙中小尺度上的特例，而在大尺度上不存在所谓的平坦时空，因此非欧几何才是宇宙的本质。

宇宙曲率

整个宇宙存在一定的曲率，虽然我们观察到的宇宙近似于平坦，这只能说明我们观察的尺度较小，从整个宇宙的尺度上来说，是不存在绝对的平行线，无限延长的两条线会因为宇宙的曲率相交或者发散。

因此欧式几何就像是牛顿力学，非欧几何更像是相对论。人们当时难以接受非欧几何不亚于难以接受相对论的程度。

欧式几何方法(平行线也可相交原理)

2. n维欧式空间的标准内积的定义？

n维欧式空间的标准内积是指在n维欧式空间中，定义了一种满足一定性质的内积运算。具体定义如下：对于n维欧式空间中的两个向量x=(x1,x2,...,xn)和y=(y1,y2,...,yn)，它们的标准内积定义为：<x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn其中，<x, y>表示向量x和向量y的内积。标准内积的定义是为了在n维欧式空间中引入一种内积运算，使得我们可以度量向量之间的夹角和长度。通过内积的定义，我们可以计算向量之间的夹角余弦、向量的长度以及判断向量是否正交等。标准内积的定义是欧式空间中的一种常见内积定义，它满足内积的基本性质，如对称性、线性性等。在实际应用中，标准内积可以用于定义向量的正交性、投影、距离等概念，进而应用于向量空间的正交分解、最小二乘法、信号处理等领域。此外，标准内积还可以推广到更一般的内积空间中，如希尔伯特空间，从而为更广泛的数学和物理问题提供了工具和方法。

3. 黎曼几何是怎么回事？

黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。

在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。

4. 立体几何发展历史？

平面几何与立体几何

最早的几何学当属平面几何.

平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线,就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度）.平面几何采用了公理化方法,在数学思想史上具有重要的意义. 平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何.为了计算体积和面积问题,人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念. 笛卡尔引进坐标系后,代数与几何的关系变得明朗, 且日益紧密起来.这就促使了解析几何的产生.解析几何是由笛卡尔、费马分别独立创建的.这又是一次具有里程碑意义的事件。

从解析几何的观点出发,几何图形的性质可以归结为方程的分析性质和代数性质.几何图形的分类问题（比如把圆锥曲线分为三类）,也就转化为方程的代数特征分类的问题,即寻找代数不变量的问题. 立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴,从而研究二次曲面（如球面,椭球面、锥面、双曲面,鞍面）的几何分类问题,就归结为研究代数学中二次型的不变量问题. 总体上说,上述的几何都是在欧氏空间的几何结构--即平坦的空间结构--背景下考察,而没有真正关注弯曲空间下的几何结构.欧几里得几何公理本质上是描述平坦空间的几何特性,特别是第五公设引起了人们对其正确性的疑虑.由此人们开始关注其弯曲空间的几何, 即“非欧几何”.非欧几何中包括了最经典几类几何学课题, 比如“球面几何”,“罗氏几何”等等.另一方面,为了把无穷远的那些虚无缥缈的点也引入到观察范围内, 人们开始考虑射影几何. 这些早期的非欧几何学总的来说,是研究非度量的性质,即和度量关系不大,而只关注几何对象的位置问题--比如平行、相交等等. 这几类几何学所研究的空间背景都是弯曲的空间

5. 过直线外一点可以做几条平行线？

非欧几何.在非欧几何中，三角形内角和并不等于180度.在黎曼非欧几何中，不存在平行线.在罗氏非欧几何中，平行线可以相交.我们在小学初中时接触到的欧式几何的基本公理是这样的：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。2、任意线段能无限延长成一条直线。3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。4、所有直角都全等。5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。当然第五条的意思也可以这样表述：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。但如果把第五条公理改动一下：过直线外一点，至少可以做两条直线与已知直线平行。保留前四条公理，仅改变这一条，便可推理演绎出非欧几何。这一过程看似反直觉，但却毫不违反逻辑。这时才意识到，为何初中时课本总是在重复那些看似毫无意义的公理。这就是逻辑的力量，那些看起来很无趣的东西，往往是最难以辨清对错的。我们的数学体系也就是架构在一个个无法分辨对错的基础上的。正如「1+1=2」，我们把它用作公理，却始终无法证明。（这一点居然被人喷了...1+1=2作为整个数学体系里最基本定义，也是人类根据物质世界的表征进行的最符合其认知方式的定义，已经无法再向上找到1+1=2的定义依据。所以它无法证明，自然也不需要去证明。）明白了这点，也就深刻明白了「从一个错误的假设开始，能够推导出任何可能的结论」这一逻辑学上的名句。但是非欧几何的假设并不是错误的，浩瀚宇宙，总有一个高维度空间适用于它。也许在那个空间的智慧生命眼里，我们的黎曼几何才是世界的常态，而我们的欧式几何只不过是他们之中的数学家们的思维游戏，并无多大实际作用。不过后来，非欧几何的理论还真被用在了相对论上。人类如此渺小，以至于用亿万年去探索宇宙的常态却仍不得成功。它是各种维度混沌复现，许多超越人类认知水平的东西仍隐藏在黑夜之后；但它也是秩序的象征，人们能够在混沌中寻求秩序，用数字的视野将它捕捉。混沌与秩序，也许就是宇宙常态的本源。在探索欲的支使之下，我们能够仰望星辰大海，因为那是我们的总要踏上的征途…

6. 今天如何面对不确定的时代挑战？

用微积分对抗不确定世界的答案

这个世界给了我们一个图形？然后说：请你求出面积。可是，这个图形既不是三角形，也不是矩形，既不是菱形，也不是圆形，我们甚至无法确定它的形状。面对这种不确定性，以从前累积的所有算法、公式全部失效，怎么办？

在我看来，对于应对现实和未来的不确定性，对于破解世界的复杂性，微积分提出了三个极具现实意义的建议：

无穷切割：把不规则的不确定的未来，切割成尽可能小的可控单元。

单元求解：活在当下，把每一个单元都做到最好，无限趋近完美。

持续累积：不争一朝一夕，持续累积当下的势能，美好未来会自然呈现。

东方讲求天人合一，推崇感性和谐，思维的特点是综合；西方讲究理性逻辑，思维特点是分析。那么什么是分析呢？就是大事化小。比如一部苹果手机，摄像头、电池、芯片会在全世界不同的工厂分开制造，最后在中国组装。西方的这种理性分析思维，在微积分这里的得到了极致体验。微积分，首先是微分，然后是积分。

微分就是切割，而且是无穷尽的细分切割。

举个例子，上面那个你不能确定是什么形状的图形，让你求面积，怎么办？

所有你学过的欧式几何的公式都一概用不上。这时候牛顿和莱布尼兹跑出来说，我们有办法。先把这个不规则的图形无穷尽的细分切割，记住，不但是细分切割，而且是无穷尽的细分下去，你切的越细，每一个单位图形，就越接近一个矩形（是接近而不是就是），长乘宽，一个矩形的面积就轻易的算出来了。

积分，就是持续精进，不断累积势能。

还是上面那个例子，就是把无数个这些近似矩形的面积加起来，其总和，就是这个不规则图形的近似面积。

通过细分，把不确定和不规则的对象，变成可控的、规则的、确定的、容易完成的业务单元，完成每一个单元，然后求和，就是微积分思想的精髓。

圣人终不为大

不规则的世界，不确定的未来，企业如何自处？牛顿和莱布尼茨的微积分在200多年前给了我们一个回答：微积分，先微分，再积分。类似的观点，中国的老子在2000多年前也提倡过：

“天下大事必作于细天下难事必作于易”

“不积跬步无以至千里不积小流无以成江海”

做小的智慧，做小的世界观。对于小企业，刚刚起步的创业者来讲是指，要善于把不规则世界，不确定的未来，切割成可控的业务单元。去把每一个业务单元做到极致，然后不断累积自己的势能。通过做小企业获得了对不确定未来的掌控感，同时也实现了有限资源的聚焦。

对于大企业来说，军团建制的大规模战争已经越来越少，现在需要化整为零，把大恐龙拆解成一个个极其灵活的类似美军海豹突击队的小团队，像任正非所说的，让听得见炮声的人指挥战斗、进行决策。稻盛和夫用“阿米巴模式”缔造了2家世界500强企业，海尔近几年也在“大平台小公司”方面成效显著，与此同时韩都衣舍的项目制也在电商领域受到广泛关注。做小企业实现了多元化和灵活性，以此来应对不确定的未来。