1. 欧氏空间内积，n维向量夹角公式怎么证明？

和2,3维一样. 欧氏空间中定义了标准内积,就是对应分量相乘之和.这一点也和2,3维空间中内积定义的一样. 那么向量a,b夹角的余弦为： cos=(ab的内积)/(|a||b|) 即：a,b的内积除以它们的模的乘积等于二者夹角余弦.

2. cos法则？

余弦定理，欧氏平面几何学基本 定理。余弦定理是描述 三角形中三边长度与一个角的 余弦值关系的数学定理，是 勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及 夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

3. 一维欧氏空间是啥？

一维欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的性质

4. 为什么周长相等的圆比正方形大？

这是平直的欧氏空间上的性质，如果不是欧氏几何，比如说球面上，一般就不成立，比如纬线圈长度和到北极距离（注意球面上只能用球面距离）就不成比例。

欧氏空间主要有以下性质：

1. 它是一个线性空间，而且原点可以任意选择（也叫做仿射空间），也就是说任意图形都可以平移、旋转、缩放而仍然在空间内

2. 它是一个内积空间，长度定义为内积的平方根，而内积有双线性性质，意味着旋转时长度不变，缩放时长度按比例增加（整体平移时向量本身是不变的）；内积也定义了角度，因而平移、旋转、缩放时角度不变。

这些性质在欧氏几何中作为公理和公设出现，在线性代数中则认为是代数结构的性质。

有这些基础之后可以定义更广泛的相似性：

对于点集A，如果存在仿射变化f，将A中每个点经过f变化，得到的新点集恰好为A'，则称A'与A相似。根据前面的性质，相似的两个图形，直线仍然对应直线，角度不变，距离则成固定比例。

由于仿射变化是可以复合的，因此通过多个平移、旋转、缩放之后重合也是一样的。

接下来证明任意两个圆都是相似的，我们可以将圆和圆心一起做变化，只需要仿照其它答主的方法：首先将圆心平移到重合的位置，然后以圆心为原点按半径比例缩放，则圆周上点到圆心的距离仍然相等，得到了一个新的圆，很容易证明两个圆现在完全重合。

既然任意两个圆都相似，那么最后一个问题是考虑周长的问题了，首先需要定义周长，我们一般定义曲线长度为内接折线长度的上确界，对于圆来说，就是内接简单多边形的周长的上确界了；那么不难发现，设相似变换为f，则第一个圆上的任意内接简单多边形，经过f变换，都得到第二个圆上的一个对应的、相似的内接简单多边形，因而多边形周长成固定比例；因为f可逆，因此反过来也有同样的对应关系。因为每个元素都相应成比例，那么运用与常数乘积的极限性质，整体的上确界也相应成比例了，因而圆的周长的比例也是相似比。很容易发现这一点可以推广到任意曲线上。

既然周长和半径（直径）都相应成比例，那么周长和直径的比值自然就是固定值了。

5. 欧氏空间和黎曼空间？

01：欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为:平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。 这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。

当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。

02：黎曼空间

常曲率黎曼空间

Riemannian space of constant curvature

截面曲率为常数的黎曼流形，它包括了欧氏空间、球面、双曲空间为其特例。在曲面论中,高斯曲率K为常数的曲面局部地为球面(K>0)，平面（K=0）或双曲平面(K

局部地,它是n维球面(K>0)、欧氏空间(K=0)或双曲空间(K

人们对常曲率黎曼空间感兴趣的原因在于这类黎曼流形结构简单，具有最大的对称性（即容有最大参数的运动群）,直观地说,这类空间是均匀各向同性的。它也同时作为共形平坦空间、爱因斯坦空间、齐性黎曼流形或对称黎曼空间等特殊黎曼流形的一类重要的例子。把它作为模型研究清楚以后，通过与这些标准的模型进行诸如曲率等几何量的比较，从而可得到对一般黎曼流形的一系列几何和拓扑的性质。

6. 主向量分析法？

向量分析法是一种研究向量及其有关概念及性质的方法。在欧氏空间(更一般的仿射空间)中，一个有向线段称为向量。如力学中的速度、加速度、力、位移等都是向量。

对于向量可以用平行四边形法定义加法、定义数乘、内积、向量积、混合积、向量空间等，同时起点固定在原点的向量的终点可以描述曲线、曲面等，还可以定义向量场。

7. 有个三阶矩阵和二阶矩阵相乘怎么算？

左乘就是并乘的一种，我习惯叫张量积，两个二阶张量的张量积是四阶张量就当你给的是二阶协变张量那么其张量积为 ，分量带具体的数值就行了，比如 ，依次类推你可以计算出 的全部分量单点积和双点积都是内积，实质是先升指标，再求张量积，最后进行指标缩并单点积也有好几个，举一个例子： 此处采用爱因斯坦求和约定，同一个指标出现在上下意味着对此指标求和，于是上式是 的简写分量如同前文说过的那样求，比如 （由于度规选欧式度规，升降指标不改变张量分量，即 ）双点积同理张量的定义按用全微分表示的张量分量变换率记，结合抽象指标，加上爱因斯坦求和约定这是最有效的方式，黄克智的张量分析中的表示方法总觉得不正规，看着别扭至于用线性映射或者纤维丛去理解张量，一个是过于抽象，另一个对于一般的计算没有帮助你看我上边写的多简洁清晰