1. 欧式空间内积为零，为什么长方形的面积是长x宽？

用几个基本原理可以说明为什么长方形面积等于长乘宽。

首先两个全等的图形面积完全相等。

一个长方形如果长为 ，宽为 ，面积函数可表示为 。交换 边，可得到一个面积完全相等的长方形，所以 。

两个图形拼起来的面积是两者之和。对于长相等的长方形，将它们对齐长边，把宽边拼在一起，可以形成另一个长方形，宽是两者之和。所以 。

由此可得：

因为长方形长、宽、面积均为正，有， ，所以 单调递增。因为 ，所以对于有理数 ，有 。关于连续（即证明 在趋向于0时极限为0，首先趋向于0时单调递减有下界，所以极限一定存在，其次用第二条证明 可以任意接近于0，因此 。因为 关于连续，对于任意实数， ，所以 。同理 。

所以一个长为 ，宽为 的长方形面积是 长方形面积的 倍。为了使用方便，可以规定长为1,宽为1的长方形面积 ，因此 。

所以，原始的定义不是定义长方形的面积公式，而是定义单位正方形的面积为1，任意长宽的长方形都可以由单位正方形或更小的正方形拼接出来。

2. 主成分协方差是正定的？

是的x[i]*x[j]*cov{Y[i],Y[j]}=var{x[i]*Y[i]}其中x[i]为数，Y[i]为随机变量，var为方差，相同下标求和。

另一种说法：协方差是定义在随机变量空间的欧式内积(cov{Y,Y}>=0)，而协方差矩阵是协方差内积的矩阵表示，所以正定。

3. 内积和点积有什么区别？

内积也称点积，在数学中，数量积是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算，也称点积。它是欧几里得空间的标准内积。

点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。

4. 什么叫正交矩阵？

正交矩阵是方块矩阵,行向量和列向量皆为正交的单位向量。

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵 。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

扩展资料

定理：在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组。

方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。

A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量。

A的列向量组也是正交单位向量组。

正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

5. 长方形的面积为什么是长乘宽？

全等的图形面积应该都相等，而长和宽对应相等的长方形是全等的，所以面积是长和宽的函数f(a，b)。面积是恒正的函数，不存在面积为负的情况，边长不为0时面积不为0。主要运用的是面积的测度性质和欧式空间属于内积空间的性质。

长方形也叫矩形，是一种平面图形，是有一个角是直角的平行四边形。长方形也定义为四个角都是直角的平行四边形。正方形是四条边长度都相等的特殊长方形。

长方形的性质为：两条对角线相等，两条对角线互相平分，两组对边分别平行，两组对边分别相等，四个角都是直角，有2条对称轴（正方形有4条），具有不稳定性（易变形），长方形对角线长的平方为两边长平方的和，顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。

6. 与法向量点乘为零说明什么？

与法向量点乘为零说明两向量垂直

点乘等于0说明两向量垂直。 向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>,在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。 垂直定理:a⊥b的充要条件是a·b=0,即(x1x2+y1y2)=0 。 简介 点积有两种定义方式:代数方式和几何方式。通过在欧氏空间...

7. 如何理解微分几何里的联络？

联络是定义在纤维丛上的一个重要的微分几何概念，它起源于黎曼流形的列维-齐维塔联络,后来被扩充到一般的具有流形结构的纤维丛上去，对研究各种几何空间的性质，确定纤维丛的拓扑结构，都有重要作用。它还和理论物理中的规范势等价。

黎曼联络是其中最基本最重要的一种，也就是列维-齐维塔联络。然而有意思的是这个概念的发现和黎曼本人毫无关系，而是在黎曼去世差不多50年后才由列维-齐维提出。

联络起源于微分几何曲面上向量的平行移动。在欧式空间上，由于标架场可以整体定义，那么向量场便可以顺利地求方向导数。然而在流形上，不同点的切空间是不同的向量空间，无法直接进行微分，所以就必须在流形上再赋予一种新的结构，即所谓的“平移同构”，使我们可以定义微分，这样的结构就是现在所说的联络，而列维-齐维塔联络便是黎曼流形上最自然的一种联络，被黎曼度量所唯一确定。

形象而言，联络就是一个映射，把一个向量场映为一个新的向量场，使得它拥有方向导数的性质。

而黎曼联络的要求还要更加严格，增加了挠率为零和保持黎曼内积两条要求。定义了黎曼联络之后，就能像欧式空间一样引入微分，导数等概念，大大方便了对黎曼流形的研究，使得几何学真正焕发了生命力。联络如此重要，以至于之后诞生了专门研究各种联络的联络论。不仅在流形上，之后还定义了切丛，纤维丛上的联络等等。

联络结构的提出，大大促进了微分几何学的发展，甚至可以说改变了微分几何学的面貌，使之有了今天这样繁荣的景象。这些应归功于Levi-Civita，Weyl,Koszul,Ehresmann等数学家。