1. 欧式几何综述，之上还有什么几何？
除了欧式几何，黎曼几何以外，还有一脉相承的复几何，芬斯勒(Finsler)几何等，另外还有诸如辛几何，射影(微分)几何，分形几何等几何学科，而广义地来说，拓扑学其实也算一种几何学。下面简要介绍一下当今比较活跃而且也是由黎曼几何发展而来的复几何与芬斯勒几何，其他的几何学就不再饶舌了。
复几何，顾名思义，是复流形上的几何学，而复流形又是具有复结构的微分流形，即局部地它能与n维复数空间Cn的一个开邻域解析同胚，那么一个n维复流形自然也是2n维实流形。
1维复流形(黎曼曲面)的研究有着悠久的历史，而高维复流形的研究直到20世纪40年代才有所突破.任何复流形上总存在埃尔米特度量，它是一种复形式的黎曼度量.具有埃尔米特度量的复流形称为埃尔米特流形.在埃尔米特流形上可构造一个2次外微分形式，称为凯勒(Kähler)形式，它的系数由埃尔米特度量的系数确定.若一个埃尔米特流形的克勒形式是闭形式，则称之为凯勒流形，它是复几何的主要研究对象.
而复几何所包含的内容是十分广泛的，最传统的复几何是研究函数论问题和复结构，而现今主流的方向基本上都是复流形上的几何分析。复几何无论对数学本身或是物理学，都起着巨大的作用。
芬斯勒几何(或称黎曼-芬斯勒几何)简单来说就是取消了度量为对称正定二次型的限制，是一种比黎曼几何更为广泛的几何学。这是黎曼本人早就预见的，只不过没有进行过研究。直到1918年，芬斯勒才开始着手研究一般度量下的几何。而在之后的近70年间，芬斯勒几何并未得到真正的发展，原因在于大多数学家只是将其看做黎曼几何的简单推广，而忽略其特有的结构与性质。幸而这一局面在上世纪90年代得到根本性改观，在陈省身，沈忠民等人的努力下，芬斯勒几何得到一系列重大发展，真正进入了繁荣发展阶段。正如几何大师陈省身所说:“整体黎曼几何在二十世纪后半叶得到了巨大的发展.我相信，在二十一世纪，微分几何的主要部分应是黎曼-芬斯勒几何.”
如今数学的发展正有走向综合的趋势，几何学的发展不仅影响几何本身，而且同时影响着其他学科的发展，这些学科反过来也促进着几何的发展。即使是几何学本身，研究所需要的也是多种多样的数学工具。但毋庸置疑的是，几何学，无论过去或是将来，不仅在数学，在整个科学中都将占据重要的地位。
2. 欧几米得的原本反映了什么逻辑体系？
在《原本》里，欧几里德系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。
而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。3. 线面垂直的性质定理及其证明？
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）
定理1证明
很容易由线面垂直的定义得到，若不垂直于所有直线，则不可能垂直平面。
定理2证明
已知平面α和一点P，求证过P垂直于α的直线有且只有一条。
当P在平面外时，假设过P有两条直线m、n都与α垂直，不妨设垂足为M、N。由于m∩n=P，那么m和n确定一个平面β。不难证明α∩β=MN。
∵m⊥α，n⊥α
∴m⊥MN，n⊥MN。这样一来，在β内就有PM、PN与MN都垂直，与平面内的垂线公理（其实是定理，因为可以依靠欧式几何的公理证明）矛盾。
类似地可证明当P在平面上时也能推出矛盾。
因此定理2成立。
定理3证明
已知m∥n，m⊥α，求证n⊥α。
线面垂直
证明：设m∩α=M，n∩α=N。再在m、n上分别另取P、Q。
∵m∥n
∴设m与n确定平面β，且α∩β=MN
过N在α内作AB⊥MN，连接PN。
∵PM⊥α，AB⊂α
∴PM⊥AB
∵PM⊂β，MN⊂β
∴AB⊥β
∵QN⊂β
∴QN⊥AB~~~①
又∵PM⊥α，MN⊂α
∴PM⊥MN
∵PM∥QN
∴QN⊥MN~~~②
∵MN∩AB=N，MN⊂α，AB⊂α
∴QN⊥α
定理4证明
已知m⊥α，n⊥α，求证m∥n
证明：假设m和n不平行，那么它们相交或异面。
当它们相交的时候，设m∩n=P，则m、n确定一个平面
设m⊥α于M，n⊥α于N，连接MN。
则MN在m、n所确定的平面上
易证PM⊥α，MN⊂α
∴PM⊥MN
同理可证PN⊥MN
∵PMN共面，即在该平面内有两条直线PM、PN与MN都垂直，这与平面内的垂直定理矛盾
∴mn不相交
当它们异面的时候，过N作n‘∥m
∵m⊥α，由定理3可知n’⊥α
又∵n⊥α，n∩n‘=N
即过N有n和n’都与α垂直，这与定理2矛盾
∴mn不异面
∴m∥n
推论证明
已知空间内有三条直线a、b、c，且三条直线不同在一个平面内。若a∥b，b∥c，求证a∥c。
几何法证明：在a上任意取一点A，由于两条平行直线确定一个平面，因此在a和b所确定的平面内，过A作b的垂线AB，垂足为B。同理，在b和c所确定的平面内，过B作c的垂线BC，垂足为C。连接AC。
∵b∥c，BC⊥c
∴BC⊥b
∵AB⊥b
∴b⊥平面ABC（判定定理）
∵a∥b
∴a⊥平面ABC（性质定理3）
∵c∥b
∴c⊥平面ABC（性质定理3）
∴a∥c（性质定理4）
向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，c的方向向量为c，其中a、b、c都是非零向量。
∵a∥b
∴a∥b
由共线向量基本定理可知存在一个唯一实数λ（λ≠0）使得a=λb
同理，存在一个唯一实数μ（μ≠0）使得b=μc
∴a=λ*(μc)=(λ*μ)c
∴a∥c
∴a∥c
反证法证明：假设a和c不平行，要么它们相交，要么它们异面。
若a和c相交于P，则它们确定一个平面α。又设a和b确定的平面为β。
明显，α∩β=a
∵a∩c=P
∴c不在β上。这是因为由于两个相交平面只有一条交线，这条交线就是a。而c⊂α，如果c⊂β，说明c和a重合，这与它们相交矛盾。
∵a∥b，P∈a
∴P∉b
由异面直线的判定定理（经过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线互为异面直线）可知b和c互为异面直线（只要取c上其他一点Q即可，Q必定不在β上，否则P、Q都在β上那么c就在β上，与前文所述矛盾）。但这与条件中b∥c矛盾，因此一开始的假设不成立，a和c不相交。
若a和c异面，则根据异面直线所成角的定义，平行于异面直线其中一条的直线与异面直线的另一条所成角等于原来的异面直线所成角
∵a∥b
∴a与c所成角等于b与c所成角
但b∥c，即b与c所成角为0°
∴a与c所成角为0°，这和异面直线所成角的范围(0°,90°]相矛盾
∴a和c不异面
∴a∥c
4. 为什么经过两点只能画一条直线？
在欧式几何里,过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行,平行的两条直线必在同一平面,且仅在这一个平面中。
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，
第一. 由任意一点到任意一点可作直线。
第二. 一条有限直线可以继续延长。 第三. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。
第四. 凡直角都相等。
第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
5. 什么是柯西不等式三角形式？
柯西不等式是欧式几何中最基本，也是最重要的不等式。它的重要之处，不仅在于该结论本身应用之广泛；也在于它的证明思想对于其他定理的证明，有极大的借鉴意义。例如，在以后介绍的凸集的支撑超平面定理中，就会用到柯西不等式的证明思想。
6. 平行线在解析几何中是不是可以重合？
在欧式几何中，平行线指在同一个平面上但不相交的两条直线，因此不会重回。
但可以广义的视为平行线在无穷远处重回。在更抽象的非欧几何的空间上，比如球面、任意的给出了求导法则的空间上（比如黎曼流形上），据我所知应该没有平行线的概念，在这些空间上什么是直线都要重新定义，而平行这个概念也通常与向量场有关。总之，在这种情况下讨论平行线是否会相交没有意义，因为平行线的定义就是模糊的。以上第二段是个人理解，酌情参考。7. 什么是欧式几何和非欧几何？
欧式几何 同一直线的垂线和斜线相交。 垂直于同一直线的两条直线互相平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。 罗氏几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
