1. 欧氏空间定义，什么是流形嵌入理论？

定义 一个m维流形是指一个具有可数基的Hausdorff空间X，它的每一点x有一个领域同胚于R^m中的一个开子集。

1-维流形通常称为 曲线 2-维流形称为曲面 流形是一类很重要的空间，在微分几何和代数拓扑中有充分的研究。

我们将证明，若X是一个紧致流形，则X可以嵌入到一个有限维欧式空间中；

定理 若X是一个m-维紧致流形，则X可以嵌入到R^N中，其中N是某一个正整数。

2. 空间句法是什么？

空间句法是关于空间与社会的一系列理论和技术，其核心观点是空间不是社会经济活动的背景，而是社会经济活动开展的一部分。空间句法理论作为一种新的描述建筑与城市空间模式的语言，其基本思想是对空间进行尺度划分和空间分割，分析其复杂的关系。空间句法中所指的空间，不仅仅是欧氏几何所描述的可用数学方法来量测的对象，而且描述空间之间的拓扑、几何、实际距离等关系。

它不仅关注局部的空间可达性，而且强调整体的空间通达性和关联性。

3. 欧和非的区别是什么？

欧式几何和非欧几何的主要区别如下：

1、欧氏几何的几何结构是平坦的空间结构背景下考察，而非欧几何关注弯曲空间下的几何结构。

2、欧式几何起源于公元前，而非欧几何是几何学发展到新的时代的产物，产生于19世纪20年代。

3、非欧几何产生于非欧空间，而非欧空间可以理解成扭曲了的欧式空间，它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不正交（即不成90度）。而欧式几何的坐标轴是直线，坐标轴之间成90度。

4、非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行定理。欧式几何提出平行公理又称“第五公设”，非欧几何认为第五公设是不可证明的，并由否定第五公设的其他公理代替第五公设。

4. 韦氏定理？

如果X是紧集，映射f：X→Y是连续的，则f（X）也是紧集。 欧式空中的有界闭集是紧集，如果X是欧式空间中的有界闭集，则其肯定是紧集 ；又映射f：X→Y是连续的，则f（X）将是有界闭集（也是紧集）。

5. n维欧式空间中的开集的维数？

维数只对线性空间有定义，开集只有拓扑维数。

6. 主曲率的几何意义？

曲率（外文名：curvature）是描述几何体弯曲程度的量，例如曲面偏离平面的程度，或者曲线偏离直线的程度。在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。 曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。

7. 距离空间线性空间内积空间赋范线性空间的联系？

4.1 联系

如果在实数域或复数域上距离空间是完备的，该空间被称为完备距离空间。实数域或复数域上的完备线性赋范空间被称为巴拿赫空间。内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。

在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即线性赋范空间，完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，线性赋范空间相当于定义了长度的空间，所有的线性赋范空间都是距离空间。

以有限维空间来说，向量的范数相当于向量的模的长度。但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念—向量的夹角，特别是两个向量的正交。内积空间是特殊的线性赋范空间，在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念，从而在内积空间中建立起相应的几何学。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。

4.2 区别

在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。线性赋范空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。

线性赋范空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。

在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都是线性赋范空间，但线性赋范空间未必是内积空间。

线性赋范空间X成为内积空间的充要条件是：范数‖.‖对于一切属于X的x，y，满足

‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2 (3-3)

上式(3-3)被称为平行四边形公式或中线公式。