解读闭距离，体验北京中考新定义型压轴题

2018年北京中考数学压轴题，是一道7分题，分值不高，属于新定义型几何图，门槛就是理解新定义，读懂了，后面的难度一下子就降低了许多，当然，解决此类问题同样对基本作图有一定要求，准确使用尺规作图是必要技能之一。

题目

对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的闭距离，记作d(m,n).

已知点A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2).

(1)求d(点O，△ABC)；

(2)记函数y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)=1，直接写出k的取值范围；

(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)=1，直接写出t的取值范围.

解析：

(1)按题目所给的三个点绘图，得到△ABC，再根据定义来求闭距离，如下图：

从图中可知，点O与△ABC的边AB和BC，最短距离为2，而与斜边AC距离超过2，因此d(点O，△ABC)=2；

作为起始小题，难度较低，但这个所谓的低难度也要建立在正确理解闭距离基础上；

(2)与上一个小题相比，略作变化，还是那个三角形，现在将定点O换成了经过它的动直线y=kx，这是一条经过原点的直线，影响它位置的只有一个参数k，但加上x取值限制后，它就不再是直线了，而是一条经过原点的线段。当这条线段绕点O转动过程中，位于不△ABC内部，且夹在-1和1之间的区域，就是线段扫过的地方，在题目条件闭距离为1的前提下，线段上任意一点距离△ABC的边不能太近，不妨考虑这条线段的两种特殊位置，即分别当k=1或-1时的情况，如下图：

线段PQ即符合条件的y=kx上的线段，当k=1时，点P到边AB和BC的距离最小，均为1，当k逐渐增大时，点P会靠近边BC，此时d(G，△ABC)<1，不符合，因此k只能逐渐减小，P点远离BC，而Q点逐渐靠近BC；减小至当k=-1时，点Q到边BC的距离最小；

(3)考虑圆和三角形之间的闭距离，实质上仍然是直线与圆的位置关系，在⊙T由左至右的逐渐移动过程中，它先后与AB、AC存在离、切、交三种状态，题目要求闭距离为1，则存在圆在AB左，圆在AB右，圆在AC左，圆在AC右四种情况，如下图：

上述四种特殊位置的T点坐标分别是(-4，0)，(0，0)，(4-2√2，0)，(4+2√2，0)，在三角形内部，圆与BC边始终保持距离为1，因此，t的取值范围为0≤t≤4-2√2，再加t=-4和t=4+2√2.

解题反思：

总体而言，本题不算难，但这一切都建立在正确理解闭距离这个新定义上，特别是当圆在三角形内部时，利用新定义找准取值范围，这是很容易被学生漏掉的情况。从另一个侧面也考察了学生对新定义的理解深刻程度。若仅仅停留在字面上，那么本题解起来举步维艰，真的透彻了，自然行云流水。