1. 欧式空间内积运算，对称矩阵的5个性质？
1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
5.用<,>表示上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X, Y∈，。
6.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：

7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
8.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
10.如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
11.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵
2. 主成分协方差是正定的？
是的x[i]*x[j]*cov{Y[i],Y[j]}=var{x[i]*Y[i]}其中x[i]为数，Y[i]为随机变量，var为方差，相同下标求和。
另一种说法：协方差是定义在随机变量空间的欧式内积(cov{Y,Y}>=0)，而协方差矩阵是协方差内积的矩阵表示，所以正定。
3. 实对称矩阵和自伴算子？
设A是一个n*n的实对称矩阵,考虑n维欧式空间上的算子：A(x) = A * x,这里等式右边的A就是那个实对称矩阵,x是n维欧式空间中的点,写成列向量,*就是矩阵乘法.则A(x)是n维欧式空间中的一个自伴算子关于自伴算子：设（ ,）是欧式空间中的标准内积,如果一个算子满足(A(x),y) = (x,A(y)),对于任意的x,y则称A为一个自伴算子.容易验证由实对称矩阵给出的线性算子满足以上条件,因此是自伴算子一般的希尔伯特空间中的自伴算子的定义也类似建议你去看看泛函分析的书,里面写的比较详细.
4. 为什么长方形的面积是长x宽？
用几个基本原理可以说明为什么长方形面积等于长乘宽。
首先两个全等的图形面积完全相等。
一个长方形如果长为 ，宽为 ，面积函数可表示为 。交换 边，可得到一个面积完全相等的长方形，所以 。
两个图形拼起来的面积是两者之和。对于长相等的长方形，将它们对齐长边，把宽边拼在一起，可以形成另一个长方形，宽是两者之和。所以 。
由此可得：
因为长方形长、宽、面积均为正，有， ，所以 单调递增。因为 ，所以对于有理数 ，有 。关于连续（即证明 在趋向于0时极限为0，首先趋向于0时单调递减有下界，所以极限一定存在，其次用第二条证明 可以任意接近于0，因此 。因为 关于连续，对于任意实数， ，所以 。同理 。所以一个长为 ，宽为 的长方形面积是 长方形面积的 倍。为了使用方便，可以规定长为1,宽为1的长方形面积 ，因此 。
所以，原始的定义不是定义长方形的面积公式，而是定义单位正方形的面积为1，任意长宽的长方形都可以由单位正方形或更小的正方形拼接出来。
5. 怎么求度量矩阵？
知道了任意两个基向量的内基也就知道了度量矩阵，之所以提出度量矩阵的概念其实是为了方便计算两向量的内基。因为只要基向量相同，计算内基只须将向量的坐标和度量矩阵两边相乘即可，有利于减少计算量。特别是对于大规模的矩阵运算很有意义！实数域上的度量矩阵是正定矩阵。度量矩阵和所选的一组基向量有关, 如果选择的是标准正交基, 度量矩阵为单位矩阵。
对于线性空间中的任意一个向量的表示由基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁。
扩展资料：
从本质上来说是多元衡量尺度一元化的问题，于是就找出了范数的概念，用一个范数来代替多个元素的收敛问题讨论。
不同矩阵范数的等价性保证了函数极限的一致性。在某种程度上范数成了距离的代名词，但要注意的是范数的概念要比距离强得多（主要是增加了绝对齐次性），我们会用范数去表示不同样本之间的距离，用范数去表示误差程度，用范数去衡量许许多多的表示某种程度的量。
6. 内积矩阵非负吗？
首先，你的矩阵要可以构成空间。于是你要定义运算
最一般的定义（不是唯一的）来说，同型的矩阵，关于实数域，矩阵的加法，数乘，构成一个空间
而内积，是一个空间中两个元素到一个实数的映射，只要他满足双线性，且非负，且0于0的内积等于零，即可。
另外向量的内积的定义也不是唯一的。只是同维欧式空间同构（当然是有限维），所以一般只取你们常用的一种而已。
7. 条件协方差的表示方式？
是的x[i]*x[j]*cov{Y[i],Y[j]}=var{x[i]*Y[i]}其中x[i]为数，Y[i]为随机变量，var为方差，相同下标求和。
另一种说法：协方差是定义在随机变量空间的欧式内积(cov{Y,Y}>=0)，而协方差矩阵是协方差内积的矩阵表示，所以正定。
