欧式几何的5条几何公理(平行线的定义是什么)

1. 欧式几何的5条几何公理，平行线的定义是什么？

在几何中，平行线的定义是在同一平面内，永不相交也永不重合的两条直线。在高等数学中，平行线的定义是相交于无限远的两条直线。在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交。平行线的定义包括三个基本特征，分别是：同一平面内、两条直线、不相交。

平行线的平行公理：

1、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

2、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

注意：只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才会相等，内错角相等同旁内角互补。

平行线的判定：

1、同位角相等，两直线平行。

2、内错角相等，两直线平行。

3、同旁内角互补，两直线平行。

4、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

5、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行。

6、同一平面内永不相交的两直线互相平行。

欧式几何的5条几何公理(平行线的定义是什么)

2. 非欧几何的来源？

非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里德几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。

有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。

因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。

但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

3. 相交线与平行线起源于什么？

相交线与平行线起源于欧式几何。

欧氏几何的平行公理，可以等价的陈述为“过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”。而其否定形式“过直线外一点没有和已知直线平行的直线”或“过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行”，则可以作为欧氏几何平行公理的替代，而演绎出独立于欧氏几何的非欧几何。

欧氏几何中平行线的性质和判定

平行线的性质

1.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

3.两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行。

4.平行线分三角形对应边成比例。

这几条命题依赖于欧氏几何的第五公设（平行公理），所以在非欧几何中不成立。

平行线的判定

1、同位角相等，两直线平行。

2、内错角相等，两直线平行。

3、同旁内角互补，两直线平行。

4、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

5、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行。

6、同一平面内永不相交的两直线互相平行。

在欧几里得几何原本的体系中，这几条判定法则不依赖于第五公设（平行公理），所以在非欧几何中也成立。

相交线概念

如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交。相对的，我们称这两条直线为相交线。

性质

相交线

∠1和∠2有一条公共边AB，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具有这种关系的两个角，互为邻补角（adjacent angles on a straight line）。

∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角（verl ticaangles）。

∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1=∠3.类似地,∠2=∠4.这样，我们得到了对顶角的性质：对顶角相等.

垂直是相交的一种特殊情况

4. 推论分别都有什么含义？

公理是不需要证明的,由实践得出的结论.

定理是由公理得出来的,也可以说是公理的推论,是需要证明的.

推论的定义是,根据公理或定理而推导出来的真命题.

定义就是数学名词的概念,例如,直角的定义就是"90度的角"定理是真命题,但真命题不一定是定理、公理

真命题是逻辑上的概念,而定理是在研究中觉得比较重要和常用的结果,授予它定理得地位而已.而公里这是逻辑讨论的前提。

公理是显而易见，无需证明。定理是需要证明的，一般需要用到公理。推论是定理推出的相关结论，是定理的演化。

定义是对某件事物（比如内错角）的语言说明。公理是一些假设大家都承认的事实，比如欧几里得的平行公理，在欧氏几何中我们假设这个公理是正确的。

但在黎曼几何中不对，有另外的公理。推论指的是从定义、定理中直接能够看出的特殊结论，比如由平行公理很快能得出平行线的传递性这个推论。命题指的是能否判断真假的陈述句，错误的命题是假命题，正确的命题是真命题。

5. 欧氏几何的五大公理？

欧氏几何五大公理是：过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。线段(有限直线)可以任意地延长。以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。凡是直角都相等(角公理)。

两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角，则两直线则会在该侧相交。

6. 平行公理4是什么？

1 平行公理4指的是：如果直线L与平面P中的一条直线相交，形成了一组内角互补的角，并且在P中有另外一条直线与这些角的其中一个角互补，则这条直线与L平行。2 平行公理4是欧几里得几何学中的一条公理，它是保证几何学基本结构的重要公理之一。它告诉我们，当一条直线与平面中的直线相交时，它只能与这些直线中的一条平行。3 平行公理4是由欧几里得在《几何原本》中提出的，它帮助我们理解空间中的物理结构和运动规律，对于特定的几何形状和空间关系的研究具有重要意义。